In un quadrilatero, i centri non consecutivi costruitoi sui quadrati dei lati formano due segmenti congruenti e ortogonali
                                        

 

In un quadrilatero, i centri non consecutivi costruiti sui quadrati dei lati formano due segmenti congruenti e ortogonali.

 

Consideriamo il quadrilatero di vertici

A=[0,0]

B=[2a,0]

C=[2a+2b, 2c] e

D=[2d, 2e]

con i parametri a, b, c, d ed e reali qualsiasi

 

Tale scelta non è restrittiva in quanto per ogni quadrilatero è sempre possibile applicare una roto-traslazione e far coincidere il punto A con l’origine del sistema di riferimento. Ebbene: le posizioni dei centri dei quadrati si possono ricavare facendo i punti medi di due vertici non consecutivi dei quadrati stessi. Aiutandosi con i triangoli rettangoli della figura è facile verificare che

,

,

,

.

Verifichiamo allora che , o nella forma più comoda,  

Applicando la formula della distanza di due punti si ha che

 

 

Senza svolgere i calcoli algebrici si può verificare che le distanze sono congruenti.

 

Passiamo allora alla perpendicolarità.

Si dimostra che due rette di equazione  e  sono ortogonali quando . In questo senso la retta passante per  e  ha l’equazione che deriva da

 

da cui si ricava che

 

Allo stesso modo la retta passante per  e per  ha la forma

 

Ebbene: applicando nella formula i coefficienti delle due rette, raccogliendo anche qualche segno si ottiene

 

che è identicamente nullo per qualsiasi valore dei parametri.

Muovendo con il mouse i vertici A, B, C e D è possibile verificare empiricamente la proprietà.

Creato con il mitico GeoGebra

 

                                        
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