Proprietà dell'iperbole
                                        

Proprietà dell'iperbole

Verifichiamo per via sperimentale alcune delle proprietà dell'iperbole. In particolare

  1. data l'equazione x^2/a^2-y^2/b^2=1 verificare che rappresenta un'iperbole con i due assi coincidenti con gli assi cartesiani

  2. una tangente qualsiasi all'iperbole forma con gli asintoti triangoli equivalenti

  3. una retta stacca con gli asintoti e l'iperbole segmenti congruenti

  4. le rette uscenti dal fuoco vengono deviate dalla superficie della conica in direzione passante per l'altro

  5. l'equazione xy=k rappresenta una iperbole equilatera

Data l'equazione 
 x^2/a^2-y^2/b^2=1
verificare che rappresenta un'iperbole con i due assi coincidenti con gli assi cartesiani

Muovendo le slides dei valori di a e b si verifica che la distanza fra le distanze fra i due fuochi è pari al raggio della circonferenza con centro in F2 e raggio pari a 2a. 

Numero a  definizione
Numero b  definizione
Iperbole c x² / a² - y² / b² = 1
Punto F2 Fuoco[c]
Punto F1 Fuoco[c]
Punto A Punto[c]
Punto B Intersezione[c, asseX]
Punto C Intersezione[c, asseX]
Circonferenza d Circonferenza[F2, Distanza[B, C]]
Circonferenza e Circonferenza[A, F1]
Segmento f Segmento[F1, A]
Segmento g Segmento[A, F2]

 

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Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.4.2 (or later) is installed and active in your browser (Click here to install Java now) una tangente qualsiasi all'iperbole forma con gli asintoti triangoli equivalenti (della stessa area)

Fissati i parametri a e b della conica seguiamo il seguente protocollo di costruzione

Iperbole c x² / a² - y² / b² = 1
Punto F2 Fuoco di c
Punto F1 Fuoco di c
Retta d b x + a y = 0
Retta e b x - a y = 0
Punto A Punto su c
Retta t Tangente per A a c
Punto B Punto di intersezione e, t
Punto C Punto di intersezione d, t
Punto D  
Triangolo poly1 Poligono D, B, C
Segmento c1 Segmento[D, B] di Triangolo poly1
Segmento d1 Segmento[B, C] di Triangolo poly1
Segmento b1 Segmento[C, D] di Triangolo poly1
Numero rapporto poly1 / (a b)

Ebbene: muovendo il punto A e cambiando i parametri dell'iperbole la variabile "rapporto" si verifica che è sempre unitaria. Da ciò l'equivalenza di tutti i triangoli.
una retta stacca con gli asintoti e l'iperbole segmenti congruenti

definiti i parametri della conica c , i fuochi e gli asintoti d ed e come nel caso precedente, si inseriscono due punti liberi A e B dai quali passa la retta secante

Retta f Retta per A, B
Punto C Punto di intersezione d, f
Punto E Punto di intersezione e, f
Punto F Punto di intersezione c, f
Punto G Punto di intersezione c, f
Segmento g Segmento[F, C]
Segmento h Segmento[E, G]
Numero rapporto g / h

Anche in questo caso si verifica che il rapporto fra le lunghezze dei due segmenti è sempre costante e unitaria

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Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.4.2 (or later) is installed and active in your browser (Click here to install Java now) le rette uscenti dal fuoco vengono deviate dalla superficie della conica in direzione passante per l'altro

 

Punto A Punto su c Punto[c]
Segmento raggio Segmento[F1, A] Segmento[F1, A]
Retta t Tangente per A a c Tangenti[A, c]
Retta e Retta per A perpendicolare a t Perpendicolare[A, t]
Punto B F1 simmetrico rispetto a e Simmetrico[F1, e]
Retta f Retta per B, A Retta[B, A]
Punto E A - Versore[f] A - Versore[f]
Semiretta d Semiretta per A, E Semiretta[A, E]

 
l'equazione x y= k rappresenta una iperbole (equilatera)

Definita la variabile k, possiamo inserire l'equazione xy=k e seguire il protocollo

 

Punto F1 Fuoco di c Fuoco[c]
Punto F2 Fuoco di c Fuoco[c]
Retta a Retta per F1, F2 Retta[F1, F2]
Punto C Punto di intersezione c, a Intersezione[c, a, 1]
Punto D Punto di intersezione c, a Intersezione[c, a, 2]
Circonferenza d Circonferenza con Centro F1 e Raggio Distanza[D, C] Circonferenza[F1, Distanza[D, C]]
Punto E Punto su c Punto[c]
Segmento b Segmento[F1, E] Segmento[F1, E]
Segmento e Segmento[E, F2] Segmento[E, F2]
Circonferenza f Circonferenza con Centro E per F2 Circonferenza[E, F2]

 

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26 Gennaio 2009, create con il mitico GeoGebra

                                        
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