Proprietà dell'iperbole
                                        

Proprietà dell'iperbole

Verifichiamo per via sperimentale alcune delle proprietà dell'iperbole. In particolare

  1. data l'equazione x^2/a^2-y^2/b^2=1 verificare che rappresenta un'iperbole con i due assi coincidenti con gli assi cartesiani

  2. una tangente qualsiasi all'iperbole forma con gli asintoti triangoli equivalenti

  3. una retta stacca con gli asintoti e l'iperbole segmenti congruenti

  4. le rette uscenti dal fuoco vengono deviate dalla superficie della conica in direzione passante per l'altro

  5. l'equazione xy=k rappresenta una iperbole equilatera

Data l'equazione 
 x^2/a^2-y^2/b^2=1
verificare che rappresenta un'iperbole con i due assi coincidenti con gli assi cartesiani

Muovendo le slides dei valori di a e b si verifica che la distanza fra le distanze fra i due fuochi è pari al raggio della circonferenza con centro in F2 e raggio pari a 2a. 

Numero a  definizione
Numero b  definizione
Iperbole c x² / a² - y² / b² = 1
Punto F2 Fuoco[c]
Punto F1 Fuoco[c]
Punto A Punto[c]
Punto B Intersezione[c, asseX]
Punto C Intersezione[c, asseX]
Circonferenza d Circonferenza[F2, Distanza[B, C]]
Circonferenza e Circonferenza[A, F1]
Segmento f Segmento[F1, A]
Segmento g Segmento[A, F2]

 
una tangente qualsiasi all'iperbole forma con gli asintoti triangoli equivalenti (della stessa area)

Fissati i parametri a e b della conica seguiamo il seguente protocollo di costruzione

Iperbole c x² / a² - y² / b² = 1
Punto F2 Fuoco di c
Punto F1 Fuoco di c
Retta d b x + a y = 0
Retta e b x - a y = 0
Punto A Punto su c
Retta t Tangente per A a c
Punto B Punto di intersezione e, t
Punto C Punto di intersezione d, t
Punto D  
Triangolo poly1 Poligono D, B, C
Segmento c1 Segmento[D, B] di Triangolo poly1
Segmento d1 Segmento[B, C] di Triangolo poly1
Segmento b1 Segmento[C, D] di Triangolo poly1
Numero rapporto poly1 / (a b)

Ebbene: muovendo il punto A e cambiando i parametri dell'iperbole la variabile "rapporto" si verifica che è sempre unitaria. Da ciò l'equivalenza di tutti i triangoli.
una retta stacca con gli asintoti e l'iperbole segmenti congruenti

definiti i parametri della conica c , i fuochi e gli asintoti d ed e come nel caso precedente, si inseriscono due punti liberi A e B dai quali passa la retta secante

Retta f Retta per A, B
Punto C Punto di intersezione d, f
Punto E Punto di intersezione e, f
Punto F Punto di intersezione c, f
Punto G Punto di intersezione c, f
Segmento g Segmento[F, C]
Segmento h Segmento[E, G]
Numero rapporto g / h

Anche in questo caso si verifica che il rapporto fra le lunghezze dei due segmenti è sempre costante e unitaria

le rette uscenti dal fuoco vengono deviate dalla superficie della conica in direzione passante per l'altro

 

Punto A Punto su c Punto[c]
Segmento raggio Segmento[F1, A] Segmento[F1, A]
Retta t Tangente per A a c Tangenti[A, c]
Retta e Retta per A perpendicolare a t Perpendicolare[A, t]
Punto B F1 simmetrico rispetto a e Simmetrico[F1, e]
Retta f Retta per B, A Retta[B, A]
Punto E A - Versore[f] A - Versore[f]
Semiretta d Semiretta per A, E Semiretta[A, E]

 
l'equazione x y= k rappresenta una iperbole (equilatera)

Definita la variabile k, possiamo inserire l'equazione xy=k e seguire il protocollo

 

Punto F1 Fuoco di c Fuoco[c]
Punto F2 Fuoco di c Fuoco[c]
Retta a Retta per F1, F2 Retta[F1, F2]
Punto C Punto di intersezione c, a Intersezione[c, a, 1]
Punto D Punto di intersezione c, a Intersezione[c, a, 2]
Circonferenza d Circonferenza con Centro F1 e Raggio Distanza[D, C] Circonferenza[F1, Distanza[D, C]]
Punto E Punto su c Punto[c]
Segmento b Segmento[F1, E] Segmento[F1, E]
Segmento e Segmento[E, F2] Segmento[E, F2]
Circonferenza f Circonferenza con Centro E per F2 Circonferenza[E, F2]

 

26 Gennaio 2009, create con il mitico GeoGebra

                                        
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