Proprietà acustica dell'ellisse

Franco Cocca
7 Dicembre 1999

Si vuole dimostrare che le onde sonore emesse da una sorgente in un ambiente ellittico dalla posizione da uno dei due fuochi, vengono riflesse elasticamente tutte nella direzione dell'altro fuoco, indipendentemente dalla direzione iniziale e dalle dimensioni dell'ambiente.
Formalizzando in termini matematici, data l'equazione di una ellisse
                     
(dove possiamo supporre per comodità a>b)
prendiamo un punto che le appartiene definendolo nel seguente modo

dove il parametro u varia nell'intervallo (-a,a) e definiamo il fuoco di ascissa negativa

Implementiamo ora alcune funzioni note dalla geometria analitica per determinare l'equazione della retta passante per due punti, l'equazione della perpendicolare passante per un punto ad una retta data e infine il simmetrico di un punto rispetto ad una retta data.

A questo punto siamo in grado di determinare le equazioni della retta incidente uscente dal fuoco e passante per "punto" e della tangente alla conica nel punto di contatto attraverso le formule di sdoppiamento. La retta normale serve per determinare un punto "q" qualsiasi della retta riflessa attraverso la simmetria, per esempio, del fuoco che appartiene alla retta incidente.
Le istruzioni sono, nell'ordine, abbastanza autoesplicative

L'equazione pertanto della retta riflessa si potrà determinare con

Di particolare rilievo è la complessità di elaborazione analitica di tale retta: un tale calcolo fatto con carta e penna avrebbe scoraggiato anche lo studente più diligente di tutti i tempi! (forse anche non pochi insegnanti)
Intersecando dunque la retta di riflessione con l'asse delle ascisse otteniamo

Tale forma non è ... molto gratificante! Per fortuna con il comando

otteniamo

L'ascissa di tale punto è proprio quella dell'altro fuoco dell'ellisse stessa. Quindi, indipendentemente dai valori dei semiassi e dal punto scelto per la riflessione, tutte le rette che escono da un fuoco entrano, dopo il processo di riflessione elastica, nell'altro fuoco.

Laboratorio grafico

Possiamo verificare anche per via grafica tale proprietà, variando la posizione di "punto" nella parte superiore dell'ellisse

Dopo aver lanciato l'input sottostante, premendo CTRL-Y si può vedere l'animazione delle rette incidenti e riflesse che passano sempre per i due fuochi.

Cliccando sull'ultima immagine possiamo vedere la sequenza delle immagini generate.